Topic outline

  • General

    • STATISTIKA MATEMATIKA I Forum
      Statistika Matematika I menerapkan konsep-konsep ilmu peluang, fungsi densitas dan fungsi distribusi peluang dalam membuat transformasi peubah acak, menilai kekonvergenan distribusi, menilai teori-teori pengambilan sampel dan limit distribusi data. Setelah menyelesaikan mata kuliah ini mahasis¬wa S1 Matematika UNUD mampu menerapkan konsep-konsep ilmu peluang,membedakan peluang bersama, peluang marjinal, peluang bersyarat, dan prinsip kebebasan, membuat transformasi peubah acak, menilai kekonvergenan distribusi, menilai teori-teori pengambilan sampel dan limit distribusi data.General news and announcements
    • RPS Statistika Matematika I Assignment

      Rencana pembelajaran mata kuliah Statistika Matematika I dapat didownload dalam tautan berikut <RPS STATISTIKA MATEMATIKA I>

      Click RPS_Statistika_Matematika I.docx link to view the file.

    • Pustaka/Referensi Assignment

      1. Bain, L. J. dan Engelhardt, M. 1992. Introduction to Probability and Mathematical Statistics. edisi kedua. Belmont, California: Duxbury Press.
      2. Casella, G. dan Berger, R. L. 1990. Statistical Inference. edisi pertama. Pacific Grove, California: Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software.
      3. Dudewicz, E. J. dan Mishra, S. N. 1988. Modern Mathematical Statistics. edisi pertama. Singapore: John Wiley & Sons.
      4. Hogg, R. V. dan Craig, A. T. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. edisi kelima. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice Hall.
      5. Hogg, R. V. dan Tanis, E. A. 2001. Probability and Statistical Inference. edisi keenam. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice Hall.
      6. Mood, A. M., Graybill, F. A., dan Boes, D. C. 1974. Introduction to the Theory of Statistics. edisi ketiga. Japan: McGraw-Hill.
      7. Rice, J. A. 1995. Mathematical Statistics and Data Analysis. edisi kedua. Belmont, California: Duxbury Press.
      8. Spiegel, M.R,  Schiller, J, and Srinivasan, R.A. 2009. Probability and  Statistics; Schaum's Outlines. 3rd Ed. New York:McGraw-Hill
      9. Herrhyanto, N dan Gantini, T. 2009. Pengantar Statistika Matematika.  Bandung: Penerbit Yrama Widya.

    • Capaian Pembelajaran MK STATISTIKA MATEMATIKA I Assignment

      Capaian pembelajaran lulusan (CPL) program studi yang dibebankan pada mata kuliah ini:

      Rumusan Sikap (S)

      1. menghargai keanekaragaman budaya, pandangan, agama, dan kepercayaan, serta   pendapat atau temuan orisinal orang lain (S5);
      2. mampu bekerja sama dan memiliki kepekaan sosial serta kepedulian terhadap masyarakat dan lingkungan (S6);
      3. menginternalisasi nilai, norma, dan etika akademik (S8);
      4. menunjukkan sikap bertanggungjawab atas pekerjaan di bidang keahliannya secaramandiri (S9);


      Keterampilan Umum (KU)                        

      1. mampu menerapkan pemikiran logis, kritis, sistematis, dan inovatif dalam konteks pengembangan atau implementasi ilmu pengetahuan danteknologi  yang memperhatikan dan menerapkan nilai humaniora yang sesuai dengan bidang  keahliannya (KU1);
      2. mampu menunjukkan kinerja mandiri, bermutu, dan terukur (KU2);
      3. mampu mengambil keputusan secara tepat dalam konteks penyelesaian masalah di bidang keahliannya, berdasarkan hasil analisis informasi dan data (KU5);
      4. mampu melakukan evaluasi diri terhadap kelompok kerja yang berada di bawah tanggung jawabnya, dan mampu mengelola pembelajaran secara mandiri (KU8).

       

      Kemampuan Kerja (KK)

      1. mampu mengembangkan pemikiran matematis, yang diawali dari pemahaman prosedural / komputasi hingga pemahaman yang luas meliputi eksplorasi, penalaran logis, generalisasi, abstraksi, dan bukti formal (KK1);
      2. mampu mengamati, mengenali, merumuskan dan memecahkan masalah melalui  mendekatan matematis dengan atau tanpa bantuan piranti lunak (KK2);
      3. mampu merekonstruksi, memodifikasi, menganalisis/berpikir secara terstruktur terhadap permasalahan matematis dari suatu fenomena, mengkaji keakuratan dan mengintepretasikannya serta mengkomunikasikan secara lisan maupun tertulis dengan tepat, dan jelas (KK3);
      4. mampu memanfaatkan berbagai alternatif pemecahan masalah matematis yang telah tersedia secara mandiri atau kelompok untuk pengambilan keputusan yang tepat (KK4);
      5. mampuberadaptasiatau mengembangkan diri, baik dalam bidang matematika maupun bidang lainnya yang relevan (termasuk bidang dalam dunia kerjanya.

      Penguasaan Pengetahuan (PP)

      Menguasai konsep teoretis matematika meliputi logika matematika, matematika    diskret, aljabar, analisis dan geometri, serta teori peluang dan statistika (PP1);

      CAPAIAN PEMBELAJARAN MATA KULIAH  (CPMK)

      1. Mahasiswa menguasai konsep peluang bersama, peluang marginal, prinsip bersyarat dan kebebasan(PP1,KK1, KU1);
      2. Mahasiswa mampu menjelaskan fungsi distribusi diskret dan kontinu yang khusus dalam statistika (PP1, S9, KU5, KK2);
      3.  Mahasiswa mampu menjelaskan fungsi distribusi bersama peubah-peubah diskret dan kontinu (PP1, S9, KU5, KK2);
      4. Mahasiswa mampu mengkonstruksi Fungsi Pembangkit Momen dari suatu fungsi distribusi (KU2, KK2);
      5.  Mahasiswa mampu menguasai sifat-sifat peubah acak mencakup sifat nilai harapan, harapan bersyarat, dan fungsi pembangkit momen bersama (PP1, KK1);
      6. Mahasiswa mampu menentukan Fungsi-fungsi peubah acak (PP1, KU5, KK3);
      7. Mahasiswa mampu menguasai Transformasi Peubah Acak(PP1, KU5)
      8. Mahasiswa mampu menguasai limit distribusi (KU8, KK4)
      9. Mahasiswa menguasai Statistik dan Distribusi Pengambilan sampel(KK5)


      Materi Pembelajaran (Pokok Bahasan):

      1. Teori Peluang  (diskret – kontinu)
      2. Fungsi densitas peluang dan fungsi distribusi
      3. Fungsi densitas peluang bersama dan peluang bersyarat
      4. Sifat-sifat nilai harapan dan harapan bersyarat
      5. Transformasi Peubah Acak: Teknik Fungsi Distribusi
      6. Transformasi Peubah Acak:Teknik Fungsi Pembangkit Momen
      7. Limit distribusi: Teorema Limit Pusat, Distribusi Normal Asimtotis; Sifat Kekonvergenan
      8. Statistik dan Distribusi Pengambilan sampel

  • PELUANG, PEUBAH ACAK, PELUANG BERSYARAT, KEBEBASAN

    Materi ini disampaikan pada pertemuan 2, 3, dan 4

    • Review Konsep Peluang dan Peubah Acak Assignment

      Untuk mempelajari Statistika Matematika I, pembelajar diasumsikan sudah pernah mengambil mata kuliah Statistika Dasar (Metode Statistika) dan Pengantar Ilmu Peluang (Probabilitas).  Pemahaman dan penguasaan terhadap konsep peluang, peubah acak, peluang bersyarat dan kebebasan (independensi)  menjadi salah satu Capaian Pembelajaran Mata Kuliah (CPMK). Berikut diberikan beberapa peta untuk mereview konsep-konsep yang sudah pernah dipelajari.  

      ********Pembelajar Hebat ********

      Dengan memperhatikan peta konsep ini tentunya anda mengingat kembali apa yang sudah pernah dipelajari.  Jika masih penasaran dan mau memperdalam lagi penguasaan konsep-konsep dasar, terutama mengenai konsep Peluang, Peubah Acak, Peluang Bersyarat, dan Kebebasan dibaca Part I (Probability) Chapter 1. Basic Probability (pp 3 - 33) dan Chapter 2. Random Variables and Probability Distribution (pp. 34 - 75) buku PROBABILITY and STATISTICS (Schaum's Outline Series ) Third Edition, 2009 dengan mengklik link berikut  Buku

    • Latihan Review Konsep Peluang Quiz

      1. Suatu perusahaan real estate menawarkan kepada calon pembeli 3 tipe rumah, 3 macam sistem pemanasan dan 2 bentuk garasi.  Berapa macam rancangan rumah yang tersedia untuk calon pembeli?

      2. Ada berapa macam cara menjawab 5 pertanyaan benar-salah?
      3. Suatu ujian terdiri dari 5 pertanyaan pilihan berganda, masing-masing dengan 5 pilihan (A – E ) dan hanya satu yang benar.  a.)   Berapa banyak kemungkinan susunan jawaban ujian tersebut  bila untuk setiap pertanyaan hanya dibolehkan memilih satu kemungkinan?  b). Diantara kemungkinan jawaban di atas, berapa  banyak susunan jawaban yang salah untuk semua pertanyaan?

            4.   Dalam permainan bridge, berapa banyaknya kemungkinan salah seorang pemain memperoleh 4 sekop, 6 wajik, 1 klaver, dan 2 hati?

      5. Sebuah kotak berisi 8 telur, terdapat diantaranya 3 telur busuk.  Empat telur diambil secara acak dari kotak tersebut. Bila X menyatakan banyaknya telur busuk yang terambil, tentukan sebaran peluang untuk X

      6. Dari sebuah kotak yang berisi 3 isi bolpen biru, 2 merah, dan 3 hijau dipilih dua buah secara acak.  Bila X menyatakan banyak isi bolpen biru dan Y banyak isi bolpen merah yang terpilih, tentukan: a.     Fungsi peluang bersama peubah acak X dan Y;  b)Peluang bersyarat Y jika diberikan X=0 atau dinyatakan sebagai : P(Y|X=0) c) Apakah X dan Y  saling bebas?


    • Peubah Acak Diskret dan Kontinu Assignment

      *****Pembelajar Cerdas*****

      Peta berikut membantu mempercepat mereview kembali pengetahuan dan penguasaan anda mengenai peluang peubah diskret dan Kontinu

      Peluang Peubah Diskret

      Peluang Peubah Kontinu

      Selanjutnya sebagai review konsep peluang kerjakan soal-soal berikut sebagai tugas mandiri.  Penyelesaian ditulis secara terstruktur, ringkas, padat, dan jelas dengan tulis tangan, disubmit dalam bentuk file PDF.

  • Fungsi Pembangkit Momen

    Fungsi Pembangkit Momen peubah acak X dengan fungsi densitas peluang f(x) didefinisikan sebagai:

    Mx(t) = E( etX)


    • Fungsi Pembangkit Momen Assignment

      Bagian ini menguraikan cara menentukan fungsi pembangkit momen peubah acak diskret dan peubah acak kontinu dengan fungsi densitas peluang tertentu. 

      Dengan fungsi pembangkit momen juga dapat ditentukan nilai harapan dan variansi dari peubah acak dengan menentukan turunan pertama dan turunan kedua dari fungsi pembangkit momennya.

      E(X) = M'(t=0)

      E(X2) = M''(t=0)

    • Fungsi Pembangkit Momen File

      Untuk mempelajari penentuan fungsi pembangkit momen dari suatu fungsi densitas peluang peubah acak, dengan mempelajari materi fungsi pembangkit momen pada materi pembelajaran berikut.

    • Video Pembelajaran tentan Fungsi Pembangkit Moment Page

      Mari kita simak video yang membahas mengenai fungsi pembangkit momen. 

      Perhatikan 



    • Diskusi MGF dakit n Momen Sekitar Nilai Tengah Forum

      Forum ini sebagai media kita berdiskusi tentang penentuan nilai harapan dan variansi dari suatu peubah acak yang diketahui fungsi pembangkit momennya, atau dicari terlebih dahulu fungsi pembangkit momennya. Dengan fungsi pembangkit momen tersebut digunakan untuk mencari nilai harapan dan variansinya.


  • SIFAT-SIFAT PEUBAH ACAK

    Membahas sifat-sifat nilai harapan, harapan bersyarat, sifat-sifat varians dan kovarians, pada pertemuan minggu ke-6.

    • Definisi Peubah Acak

      1. Suatu fungsi bernilai real yang harganya ditentukan oleh tiap anggota dalam ruang sampel disebut suatu peubah acak.
      2. Jika suatu ruang sampel mengandung titik yang berhingga banyaknya atau suatu deretan anggota yang banyaknya sama dengan banyaknya bilangan bulat, maka ruang sampel itu disebut ruang sampel diskrit, dan peubah acak yang didefinisikan pada ruang sampel tersebut adalah peubah acak diskrit.
      3. Bila ruang sampel mengandung titik sampel yang takberhingga banyaknya dan sama banyaknya dengan banyak titik pada sepotong garis, maka ruang sampel itu disebut ruang sampel kontinu dan peubah acak yang didefinisikan di atasnya disebut peubah acak kontinu.

      Nilaitengah peubah acak X atau nilai tengah sebaran peubah acak X dilambangkan dengan µ atau µx.  Statistikawan menyebut nilaitengah ini dengan harapan matematik atau nilai harapan bagi peubah acak X dan dilambangkan dengan E(X).

      Sifat-sifat Nilai Harapan suatu Peubah Acak

    • **** Pembelajar Hebat****

      Misalkan  X adalah suatu peubah acak diskret dengan sebaran peluang P(X=x), maka nilaitengah atau nilai harapan peubah acak g(X) adalah:


      Sifat-sifat nilai harapan (nilai tengah) suatu peubah acak

      Jika g dan h fungsi-fungsi dari variabel random X, maka :

      1.  E(c) = c , untuk c konstanta
      2.  E[c g(x)] = c E[g(x)], c konstanta
      3.  (E[c g(x) + d h(x)] = c E[g(x)] + d E[h(x)] , c dan d konstanta
      4.   E[c g(x) + d] = c E[g(x)] + d
      5.  Jika g(x) ≤ h(x) maka E[g(x)] ≤ E[h(x)], ∀X

    • ****Pembelajar Cerdas****

      Populasi yang pengamatannya terdiri dari nilai-nilai peubah acak X, bila percobaan diulang terus-menerus, peubah X memiliki nilaitengah  µ atau µX  dan ragam   atau peubah acak X atau ragam sebarannya yang dilambangkan dengan  σ2  atau  σx2.

      Bila X adalah peubah acak dengan sebaran peluang maka

      Sifat-sifat Ragam:

      1. Jika c konstanta, maka Var(c) = 0
      2. Var(cX) = c2 Var(X)
      3. Var(cX+d) = c2 Var(X), c dan d konstanta
      4. Var(X) = E[X2] – [E(X)]2 = E[X2] - µ2

    • Misalkan X dan Y dua variabel random yang didefinisikan pada ruang probabilitas yang sama.  Covariansi antara X dan Y didefinisikan sebagai :

                  Cov (X,Y) = E[(X-mx)(Y-my)]

      Koefisien korelasi antara X dan Y didefinisikan sebagai :

      ρxy=ρ(X,Y)=Cov(X,Y)b+c

    • Sifat-sifat kovariansi:

      1. Cov (aX, bY) = a b Cov (X, Y) ;  a dan b konstanta
      2. Cov (a+X, b+Y) = Cov (X, Y)
      3. Cov (X, aX+b) = a Var (X)
      4. Cov (X, Y) = E (XY) - mxmy
      5. Cov (X, Y) = 0 jika X dan Y independen
      6. Var (X+Y) = Var (X) + Var (Y) + 2 Cov (X, Y)

    • Tugas Kelompok (Persiapan UTS) Assignment

      Berikut ada 11 soal dari pokok bahasan materi yang diujikan dalam UTS. Masing-masing kelompok mengerjakan satu nomor soal sesuai dengan nomor kelompoknya.  Siapkan penyelesaian untuk dipresentasikan untuk sharing dan review bagi semua anggota kelas.

    • UJIAN TENGAH SEMESTER Assignment

      UTS  Mata Kuliah Statistika Matematika I dilaksanakan untuk mengukur ketercapaian kompetensi mata kuliah (CPMK) yang telah ditetapkan pada pokok bahasan Peluang Diskret, Peluang Kontinu, Peluang Bersama Dua Peubah/Lebih, Nilai Harapan dan Variansi Peubah Acak, Nilai Harapan dan Variansi Bersyarat,  Fungsi Pembangkit Momen, serta Sifat-sifat Nilai Harapan, Variansi, dan Covariansi.  

      Penyelesaian soal-soal dalam UTS ini ditulis tangan dan disubmit dalam bentuk file PDF, pada rentang waktu 08.30 - 10.30 Wita, dengan toleransi waktu 30 menit. 

  • FUNGSI-FUNGSI PEUBAH ACAK

    • Fungsi Peubah Acak File

      ****Pembelajar Cerdas****

      Konsep peubah acak diperkenalkan sedemikian hingga kejadian-kejadian dapat diasosiasikan dengan himpunan bilangan real dalam ruang rentang (range space) dari peubah acak. Hal ini memungkinkan kita untuk mengekspresikan secara matematis model peluang untuk populasi atau karakteristik yang ingin diteliti dalam bentuk suatu fungsi densitas peluang atau suatu fungsi distribusi kumulatif untuk peubah acak yang bersesuaian, misalkan dengan X.

      Dalam kasus ini, X menyatakan karakteristik awal yang menjadi daya tarik dari fungsi densitas peluang fX(x), disebut fungsi densitas peluang populasi.

      Seringkali dalam banyak kasus beberapa fungsi peubah acak ini menjadi daya tarik. Misal jika X menyatakan umur anak ayam dalam minggu, peneliti lain mungkin menyatakan umur dalam hari, yakni Y = 7X. Dengan cara yang sama, W = X2 atau Z = ln X atau beberapa fungsi lain mungkin menjadi daya tarik peneliti.

      Setiap fungsi dari peubah acak X adalah suatu peubah acak, dan fungsi distribusi dari suatu fungsi X ditentukan oleh distribusi peluang X.  Misal, untuk peubah acak Y=7X maka P(21< X<28) = P(3 <Y< 4) dan sebagainya. Akan lebih berguna jika kita dapat menyata-kan fungsi densitas peluang atau fungsi distribusi kumulatif suatu fungsi dari peubah acak dalam fungsi densitas peluang atau fungsi distribusi kumulatif peubah acak asli

      Fungsi denstias peluang seperti ini disebut distribusi-distribusi turunan (derived distributions). Suatu fungsi densitas peluang tertentu mungkin menyatakan fungsi densitas peluang populasi dalam suatu aplikasi,  tetapi menjadi distribusi turunan dalam aplikasi lain. Dalam bab ini kita akan mempelajari beberapa teknik untuk memperoleh fungsi distribusi turunan dari suatu fungsi peubah acak antara lain: teknik fungsi distribusi kumulatif, metode transformasi, formula konvolusi, dan metode fungsi pembangkit momen


    • Metode dalam Distribusi Fungsi Peubah Acak File

      Teknik-teknik dalam Distribusi Fungsi Peubah Acak diantaranya:

      1. Teknik Fungsi Distribusi Kumulatif
      2. Teknik Transformasi Satu Peubah Acak
      3. Teknik Transformasi Dua Peubah Acak
      4. Teknik Fungsi Pembangkit Momen   

    • PENGUMPULAN FILE PRESENTASI Assignment

      File Tugas Kelompok yang sudah dipresentasikan dan direvisi (bila perlu) diupload dalam bentuk file PPT oleh salah satu anggota kelompok, dan diberikan kesempatan hingga semingu setelah kelompok terakhir presentasi

  • Video Pembelajaran Fungsi Peubah Acak

    **** Apa yang kita pelajari di sini  para Pembelajar Hebat****

    Perhatikan video berrikut mengenai teknik fungsi pembangkit momen dalam menentukan distribusi fungsi peubah acak. 


    • SLIDE SHARE TEKNIK FUNGSI DISTRIBUSI KUMULALTIF

      Untuk pembelajaran yang lebih menarik, materi pembelajaran dapat disajikan dalam bentuk slide share seperti berikut.


      • LIMIT DISTRIBUSI

        ****Pembelajar yang Cerdas*****

        Apa yang dimaksud dengan limit distribusi???

        Pandang barisan variabel acak Y1, Y2, Y3, … dengan fungsi distribusi (fungsi distribusi kumulatif)

        Gn(y)=P(Yn ≤ y), n=1, 2, 3, ….

        Barisan variabel acak Y1, Y2, Y3, … dikatakan konvergen dalam distribusi ke sebuah variabel acak Y dengan fungsi distribusi G(y), dinotasikan dengan

        Y_n\Rightarrow Y

        jika  limit_n \rightarrow \infty G_n(y=G(y)  

        untuk semua nilai y dimana G(y) kontinu. Fungsi G(y) dinamakan limit distribusi dari Yn.

        Beberapa materi untuk meningkatkan pemahaman Pembelajar Yang Cerdas mengenai Limit Distribusi diperoleh dengan menekan link berikut.

        1. Barisan Peubah Acak  
        2. Teorema Limit Pusat
        3. Sifat-sifat Konvergensi Stokastik

      • KEKONVERGENAN

        Konsep dasar kekonvergenan dalam probabilitas dan kekonvergenan dalam distribusi mendasari teori-teori dalam statistika.

        Kekonvergenan dalam Probabilitas dan Distribusi

      • STATISTIK dan DISTRIBUSI PENGAMBILAN SAMPEL

        APA SEBENARNYA YANG DIMAKSUD DENGAN STATISTIK???


        Suatu fungsi dari peubah acak yang teramati  T=l (X_1, X_2, ..., X_n)  yang tidak tergantung pada parameter yang tidak diketahui disebut Statistik

      • SUMMARY MATERI UMUM

        Penguasaan materi-materi dalam Statistika Matematika I sangat diperlukan bagi pembelajar yang akan mengambil MK Statistika Matematika II..  Berikut diringkaskan video-video materi-materi Pokok MK Statistika Matematika I. Silakan menyimak.



        Semoga kompetensi anda akan materi-materi ini semakin meningkat