Relasi, fungsi, dan definisi transformasi geometri

Nama

:

Ucu Komala

Salma Zahara Firdausa

Ayi Nuraeni A S

Nim

:

2118230016

2118230018

2118230007

Mata Kuliah

:

Geometri Transformasi

1. 

Ya, merupakan transformasi.

Relasi ini mendefinisikan refleksi terhadap garis g. Jika titik berada pada g maka bayangannya tetap, jika titik berada di luar g, maka bayangannya merupakan pencerminan terhadap g. Karena setiap titik P memiliki bayangan tunggal Q, maka T merupakan suatu transformasi.

2.

Ya, merupakan suatu transformasi

Untuk P = A, T(P)=A, Untuk P ≠ AP  diperoleh AP = P′P artinya T(P) adalah pencerminan titik P terhadap titik A. Relasi ini adalah refleksi titik pusat A, maka T merupakan suatu transformasi.

3.

Ya, merupakan suatu transformasi

Refleksi terhadap garis g.

Jika P ada di g, maka tetap.

Jika P tidak di g, maka bayangan Q didapatkan dengan membuat garis tegak lurus ke g.
Karena untuk setiap P ada satu Q, maka T adalah transformasi.

4.

Ya, merupakan suatu transformasi

Relasi ini mendefinisikan inversi titik terhadap pusat A, karena A dijadikan titik tengah antara P dan Q. Dimna Q adalah refleksi dari P terhadap A. Karena setiap P memiliki bayangan tunggal Q, maka T adalah transformasi.

5.

Ya, merupakan suatu transformasi

Relasi ini mendefinisikan inversi terhadap lingkaran dengan pusat A dan jari-jari r.

Titik pusat tetap di pusat, titik pada lingkaran tetap, titik di luar/di dalam lingkaran dipetakan ke posisi lain dengan sifat AP⋅AQ = r^2.
Maka T merupakan transformasi.

6.

Bukan merupakan suatu transformasi

Relasi ini memang memetakan setiap titik ke satu bayangan tunggal, tetapi tidak mempertahankan jarak. Karena syarat transformasi geometri adalah memetakan setiap titik ke satu bayangan dan mempertahankan jarak, maka relasi ini bukan transformasi geometri.

7.

Ya, merupakan suatu transformasi

Relasi ini memindahkan setiap titik (x,y)ke (x+a,y+b)(x+a, y+b). Hal ini adalah definisi translasi dengan vektor (a,b).  Karena translasi jelas merupakan transformasi geometri, maka T suatu transformasi.

4.

a.

Bukan relasi ekuivalen.

Refleksif: benar, x ≤ xuntuk semua x.

Simetris: gagal, jika x < y maka x ≤  y tetapi y ≤ x salah.

Karena tidak simetris, maka ≤ bukan relasi ekuivalen.

b.

Ya, merupakan relasi ekuivalen.

Refleksif: a – a = 0 sehingga n ∣ 0  ⇒ a ≡ a.

Simetris: jika n ∣ (a−b) maka n ∣ (b−a) ⇒ b ≡ a.

Transitif: jika n ∣(a−b) dan n ∣ (b−c) maka n ∣ (a−c) ⇒ a ≡ c , Jadi memenuhi ketiga sifat ekuivalen,

c.

Ya, kesejajaran adalah relasi ekuivalen asalkan kita memakai definisi yang menganggap setiap garis sejajar dengan dirinya sendiri.

Refleksif: setiap garis dianggap sejajar dengan dirinya  l ∥ l .

Simetris : jika l ∥ m maka m ∥ l  .

Transitif: jika l ∥m dan m ∥ l  . n (pada geometri Euclid).
Jika definisi kesejajaran mengecualikan garis yang sama (beberapa sumber mendefinisikan “sejajar” hanya untuk garis berbeda), maka relasi tidak refleksif dan bukan ekuivalen.

d.

Ya, kongruensi segitiga adalah relasi ekuivalen.

Refleksif : setiap segitiga kongruen dengan dirinya.

Simetris : jika △A≅△B maka △B≅△A\triangle B.

Transitif: jika △A≅△B dan △B≅△C maka △A≅△C.
Memenuhi ketiga sifat ekuivalen.

e.

Ya, kongruensi sudut adalah relasi ekuivalen.

sama pola: refleksif (sudut = sudut), simetris (jika α = β maka β=α), transitif (jika α = β dan β = γ maka α = γ → ekuivalen.

5.

Yang merupakan fungsi adalah c.

Karena, Untuk setiap x diberikan tepat satu nilai

2x – 1: terdefinisi untuk semua real.

6.

Yang merupakan fungsi bijektif adalah b.

Karena,

Injeksinya: jika 1 – x1 = 1− x2 maka x1=x2​.

Surjektif: untuk setiap y ∈ Z pilih x = 1− y sehingga f (x) = y.

Inversnya f^−1 y =1− y. Jadi bijeksi.

7.

Yang merupakan fungsi bijektif adalah b.

Karena, Translasi; injektif (beda x → beda hasil) dan surjektif (untuk setiap y pilih x = y – b). Invers f^−1 = y – b.