Setelah mempelajari materi tentang relasi, fungsi, dan transformasi, saya memahami bahwa konsep-konsep tersebut saling berkaitan erat dalam matematika. Relasi merupakan dasar dari pemetaan, yaitu bagaimana suatu himpunan dipasangkan dengan himpunan lain. Dari relasi yang memenuhi syarat tertentu lahirlah fungsi, yaitu relasi khusus yang setiap anggota domainnya memiliki pasangan tunggal di kodomain.
Lebih jauh, konsep transformasi memperluas pemahaman fungsi karena bukan hanya memetakan bilangan, tetapi juga titik-titik pada bidang. Transformasi didefinisikan sebagai pemetaan yang bersifat satu-satu dan onto (bijektif), sehingga setiap titik memiliki bayangan unik dan dapat ditelusuri kembali prabayangnya. Hal ini memperlihatkan betapa pentingnya sifat injektif dan surjektif untuk menjamin transformasi benar-benar membentuk korespondensi antara dua himpunan.
Melalui contoh-contoh yang dipelajari, saya menyadari bahwa ada pemetaan yang memenuhi syarat sebagai transformasi, dan ada pula yang hanya sebatas fungsi tetapi tidak dapat disebut transformasi karena kehilangan sifat ke-bijektifan. Dari sini saya semakin paham bahwa dalam menganalisis suatu pemetaan, tidak cukup hanya memeriksa apakah ia fungsi, tetapi juga harus dilihat apakah ia benar-benar membentuk korespondensi dua arah antara domain dan kodomain.
Nama : Ratu Salma D.H (2118230021)
Nanjar Meilani (2118230006)
Kelas : III - A
Latihan Soal
4. a). "≤" (lebih kcil atau sama dengan) pada himpunan semua bilangan real (R)
= "≤" di R reflektif dan transitif, tapi tidak simetris jadi bukan ekivalen
b). Kongruen modulo n pada semua bilangan bulat b (a ≡ b mod n, n 0 jika dan hanya jika a – b habis dibagi n)
= Memenuhi 3 syarat (refleksif, Simetris transitif), jadi ekivalen
c). kesejajaran pada semua garis
= Sejajar dengan diri sendiri, simetris, transitif, jadi ekivalen
d.) kekongruenan (≡) adakah himpunan semua segitiga
= Identitas, simetri, dan komposisi isometri, jadi ekivalen
e.) kekongruenan (≡) pada himpunan semua sudut
= Besar sudut sama, jadi ekivalen.
5. a). f(x,y)={(x,y)∣x2+y2=1}
= y = 11 – x, setiap x punya tepat satu y → jadi fungsi
b). f(x)=x2−x−21,∀x∈R
= Ada pembagi nol (tak terdefinisi), tidak semua x → bukan fungsi penuh
c). f(x)=2x−1,∀x∈R
= Linear, jelas satu output untuk setiap input → jadi fungsi.
6. a). f(x)=2x−1, ∀x∈B
= Hanya hasil bilangan ganjil, tidak surjektif, bukan bijektif
b). f(x)=1−x, ∀x∈B
= Linear, ada invers f - 1 = 1 - y , bijektif.
c). f(x)=x2+x, ∀x∈B
= Nilai ganda (mis. 0 dan -1 sama hasilnya) bukan injektif, bukan bijektif
7. a). f(x)=ax−1, a∈R ,∀x∈R
= Jika a = 0, konstan bukan fungsi bijektif , Jika a≠0 linier punya invers jadi bijektif
b). f(x)=x+b,b∈R,∀x∈R
= Translasi, selalu punya invers f - 1 = y - b jadi bijektif.
Latihan Transformasi
1. Diberikan garis g pada bidang Euclides V. Ditetapkan relasi T sebagai berikut, untuk Setiap titik P ∈ V;
a). T(p) = p Jika p ∈ g
b). T(p) = Q Jika g sumbu dari PQ.
Apakah relasi T merupakan Suatu transformasi?
=Jika P ∈ g = adalah tunggal T(p) = P
Jika P∉g = ada tetap suatu titik q yang simetris terhadap g,
Refleksi bersifat injektif dan surjektif. Maka, T adalah refleksi terhadap garis g karena merupakan suatu transformasi.
2). Diberikan suatu titik A Pada bidang Euclides V. Ditetapkan relasi T Sebagai berikut. Untuk Setiap P ∈ V;
a). T(p) = A Jika p = A .
b). T(p) = P Sehingga p titik tengah Ap' Jika P≠A.
Apakah relasi T merupakan suatu transformasi?
Hubungan titik tengah:
P = A + p’ / 2 = p’ = 2p – A
Rumus eksplisit T(p) = 2p - A , inversnya jelas ada T-1 (x) = x + A / 2
Jadi, pemetaannya bijektif karena T adalah dilatasi berpusat di A dengan faktor 2 menjadi Suatu transformasi. Maka T adalah transformasi.
3. Diberikan Suatu garis g pada bidang Euclides V. Ditetapkan relasi T. Sebagai berikut. Untuk setiap P ∈ V;
a). T(p) = P Jika P ∈ V,
b). T(p) = Q Sehingga p titik tengah ruas garis tegak lurus dari Q ke garis g, Jika P∈/g.
Apakah relasi T merupakan Suatu transformasi?
>Misalkan E Proyeksi tegak lurus p ke g, karena P titik tengah QE, maka Q = 2p - E .
fungsi eksplisit: T(p) = 2p = E(p) dengan E(p) , Inversnya T-1(Q) = Q+E(Q)/2 menjadi bijektif.
Jadi, T adalah transformasi karena dilatasi arah normalnya ke g.
4. Diberikan suatu titik A pada bidang Euclides V. Ditetapkan relasi T sebagai berikut. Untuk Setiap P ∈ V;
a). T(p) = A Jika P = A
b). T(p) = Q Sehingga A titik tengah PQ. Jika P≠A.
Apakah T Suatu transformasi?
Dari Syarat titik tengah: A = P + Q / 2 => Q = 2A - P
Maka: T(p) = 2A - P yang merupakan simetri pusat (rotasi 180) berpusat di A. Inversnya sama dengan dirinya sendiri, jadi bijektif. Maka, T adalah transformasi karena simetri pusat di A.
5. Jika P=A, jelas T(P)=A, tunggal.
Jika P∈L, maka T(P)=P, juga tunggal.
Jika P∉A P∈ L, maka T(P)=Q dengan syarat AP⋅AQ=r2. Ini adalah definisi inversi lingkaran (inversi geometri) terhadap lingkaran (A,r) dengan tambahan T(A) = A. Relasi T merupakan suatu transformasi, tepatnya transformasi inversi terhadap lingkaran dengan Pusat A dan Jari-jari (r). Dengan demikian, relasi merupakan suatu transformasi, yaitu transformasi inversi terhadap lingkaran L.
6. T(P)=(x+1,y), untuk x ≥ 0
T(P)=(x−1,y)T(P) = (x-1, y)T(P)=(x−1,y), untuk x < 0
Cek onto: titik (0,y) tidak memiliki prabayang, sebab
- dari x≥0selalu menghasilkan absis ≥1,
- dari x<0selalu menghasilkan absis ≤−2.
Jadi tidak onto (dan juga tidak bijektif). Maka, T bukan transformasi.
7. Bentuk T(P)=(x+a,y+b)T(P) = (x+a, y+b)T(P)=(x+a,y+b) adalah definisi formal dari translasi sejauh vektor (a,b)(a,b)(a,b) dan translasi adalah bijeksi dengan invers (x,y)↦(x−a,y−b). Maka, T adalah transformasi.
