5.2 Metode Eliminasi Gauss-Jordan
Dengan metode ini yang akan didapatkan dari bentuk matriks [A] adalah matriks diagonal yang merupakan perbedaan dengan metode eliminasi Gauss. Tinjau persamaan yang sama seperti diatas sebagai berikut :
Bagian pertama dari persamaan paling atas (3-3) dibagi dengan koefisien dari x1 yaitu koefisien dari persamaan tersebut. Setelah dilakukan proses tersebut maka didapatkan sebagai berikut :
persamaan paling atas digunakan untuk mengeliminir x1 yang ada pada persamaan kedua, ketiga dan ke n. Oleh karena itu untuk mengeliminirnya maka persamaan paling atas dikalikan dengan dengan a21 sehingga kefisiennya sama dan dapat kita eliminir x1. Kemudian persamaan paling atas kita kalikan a31 dan kita eliminir x1. Hal serupa untuk persaamaan berikutnya sampai kepada persamaan terakhir dikalikan dengan an1. Setelah tahap pertaman selesai maka matriks akan berubah menjadi sebagai berikut :
Langkah berikutnya membagi persaamaan kedua dari bentuk matriks diatas dengan koefisien x2 yaitu a22ʹ dari persamaan kedua untuk mendapatkan koefisieen sama dengan satu dari persamaan tersebut. Setelah dilakukan proses tersebut maka didapatkan sebagai berikut.
Kemudian persamaan kedua dikalikan dengan a12ʹ untuk mengeliminasi x2 dalam persamaan paling atas, kemudian dikalikan dengan a32ʹuntuk mengeliminasi x2 dalam persamaan ketiga dan seterusnya sampai pada persamaan paling bawah. Dengan demikian didapatkan :
Proses eliminasi untuk berikutnya adalah x3 dengan terlebih dahulu membagi persaamaan ketiga dengan koefisien x3 dan kemudian dilakukan eliminasi x3 yang ada dalam semua persamaan kecuali pada persamaan ketiga. Proses ini dilanjutkan kemudian dengan persamaan berikutnya dengan prosedur yang sama seperti diatas dan pada akhirnya didapatkan matrik diagonal sebagai berikut :
Dari persamaan matriks terakhir diatas maka bagian diagonal dimana koefisien persamaan adalah satu sehingga solusi adalah :
Koefisien x1 dalam masing-masing persamaan (a),(b) dan (c) adalah 2, 1 dan -1. Persamaan (a) kita bagi dengan 2 yaitu koefisien x1 dari persamaan (a) dan memberikan:
Dengan cara yang sama persamaan (c''') dikalikan dengan koefisien x3 dari persamaan (a'') dan (b'''). Kemudian persamaan-persamaan tersebut secara berurutan kita eliminir x3 dengan masing-masing persamaan (a'') dan (b'''), sehingga didapatkan sebagai berikut :
