Nama Kelompok : Ninda Nurul Fitriani (2118230025)
Resthy Cesaria N.H (2118230017)
Mata Kuliah : Transformasi Geometri
Jawaban Latihan Soal Relasi
Soal 4
a) ≤ (kurang dari atau sama dengan) pada ℝ
- Refleksif: x ≤ x (benar).
- Simetris: Jika x ≤ y, belum tentu y ≤ x (salah).
- Transitif: Jika x ≤ y dan y ≤ z, maka x ≤ z (benar).
⟹ Bukan relasi ekuivalen.
b) ≡ (kongruen modulo n) pada ℤ
- Refleksif: x ≡ x (mod n) (benar).
- Simetris: Jika x ≡ y (mod n), maka y ≡ x (mod n) (benar).
- Transitif: Jika x ≡ y dan y ≡ z, maka x ≡ z (mod n) (benar).
⟹ Relasi ekuivalen.
c) Kesejajaran (//) pada semua garis
- Refleksif: Garis g sejajar dengan dirinya sendiri (benar).
- Simetris: Jika g // h maka h // g (benar).
- Transitif: Jika g // h dan h // k maka g // k (benar).
⟹ Relasi ekuivalen.
d) Kongruensi (≅) pada semua segitiga
- Refleksif: Segitiga kongruen dengan dirinya (benar).
- Simetris: Jika ΔABC ≅ ΔDEF maka ΔDEF ≅ ΔABC (benar).
- Transitif: Jika ΔABC ≅ ΔDEF dan ΔDEF ≅ ΔXYZ maka ΔABC ≅ ΔXYZ (benar).
⟹ Relasi ekuivalen.
e) Kongruensi (≅) pada semua sudut
- Refleksif: Sudut selalu kongruen dengan dirinya sendiri (benar).
- Simetris: Jika ∠A ≅ ∠B maka ∠B ≅ ∠A (benar).
- Transitif: Jika ∠A ≅ ∠B dan ∠B ≅ ∠C maka ∠A ≅ ∠C (benar).
⟹ Relasi ekuivalen.
Kesimpulan: b), c), d), e) adalah relasi ekuivalen.
Soal 5
a) f(x,y) = {(x,y) | x² + y² = 1}
- Lingkaran, satu x bisa punya dua y → bukan fungsi.
b) f(x) = 1 / (x² – x – 2), ∀ x ∈ ℝ
- Tidak terdefinisi di x = -1, 2.
- Selain itu terdefinisi dengan baik.
⟹ Fungsi.
c) f(x) = 2x – 1
- Linear, selalu menghasilkan output tunggal.
⟹ Fungsi.
Kesimpulan: b) dam c) merupakan fungsi.
Soal 6
a) f(x) = 2x – 1
- Hasil hanya bilangan ganjil → tidak surjektif.
⟹ Bukan bijektif.
b) ) f(x) = 1 – x
- Injektif dan surjektif.
⟹ Bijektif.
c) f(x) = x² + x
- Tidak injektif (f(0)=0 dan f(-1)=0).
- Tidak surjektif (hasil selalu ≥ 0).
⟹ Bukan bijektif.
Kesimpulan: Hanya b) bijektif.
Soal 7
a) f(x) = ax – 1, a ∈ ℝ
- Jika a = 0, konstan → bukan bijektif.
- Jika a ≠ 0, fungsi linear → bijektif.
b) ) f(x) = x + b, b ∈ ℝ
- Linear dengan gradien 1.
- Selalu injektif dan surjektif.
⟹ Selalu bijektif.
Kesimpulan
a) Bijektif jika a ≠ 0.
b) Selalu Bijektif.
Jawaban Latihan Soal Transformasi
- Ya, T adalah transformasi. Itu Adalah refleksi (pencerminan) terhadap garis g. Setiap P memiliki pasangan Tunggal Q yang simetris terhadap g; pemetaan bersifat involutif (T^2=id) sehingga bijektif dan isometri (jarak terpelihara).
- Ya, T adalah Transformasi. Ini adalah dilatasi (homoteti) berpusat di A dengan faktor skala 2. Setiap P (≠A) dipetakan ke P' sehingga P adalah titik tengah AP'. Pemetaan ini bijektif namun bukan isometri.
- Ya, T adalah Transformasi. Ini adalah peregangan dengan faktor 2 tegak lurus garis g. Jika g: y=0 dan P(x,y), maka T(P)=(x,2y). Bijektif, namun bukan isometri karena jarak tidak terpelihara.
- Ya, T adalah Transformasi. Ini adalah refleksi pusat (rotasi 180°) berpusat di A. Jika P ≠ A, maka A adalah titik tengah PQ. Pemetaan ini involutif, bijektif, dan isometri.
- Ya, T adalah Transformasi. Ini adalah inversi terhadap lingkaran berpusat di A berjari-jari r. Didefinisikan: AP * AQ = r². Involutif, bijektif, namun bukan isometri.
- Transformasi ini bukan transformasi karena tidak surjektif. Citra hanya mencakup x ≥ 1 atau x ≤ -1, sehingga pita -1 ≤ x ≤ 0 tidak memiliki pra-citra.
- Ya, T Adalah Transformasi. Ini adalah translasi oleh vektor (a,b). Setiap titik P(x,y) dipetakan ke (x+a, y+b). Bijektif dan isometri.
