Relasi, fungsi, dan definisi transformasi geometri

1. Relasi

Relasi adalah keterkaitan antara elemen pada dua himpunan, biasanya ditulis dalam bentuk pasangan berurutan (a, b) dengan a berasal dari himpunan asal (domain) dan b dari himpunan tujuan (kodomain). Anggota dari kodomain yang benar-benar terhubung dengan domain disebut range.

Ciri-ciri relasi:

• Refleksif: setiap anggota berhubungan dengan dirinya sendiri, (x, x) ∈ R.

• Simetris: jika (x, y) ∈ R, maka (y, x) juga termasuk R.

• Transitif: jika (x, y) ∈ R dan (y, z) ∈ R, maka (x, z) ∈ R.

• Relasi ekuivalen: relasi yang memenuhi ketiga sifat (refleksif, simetris, dan transitif).

• Relasi invers: diperoleh dengan membalik pasangan terurut, yaitu R⁻¹ = {(y, x) | (x, y) ∈ R}.

2. Fungsi

Fungsi merupakan relasi khusus dari himpunan A ke himpunan B yang memiliki aturan: setiap anggota domain hanya boleh berpasangan dengan tepat satu anggota kodomain. Jadi, satu elemen domain tidak boleh dipetakan ke lebih dari satu elemen kodomain.

Macam-macam fungsi:

• Fungsi injektif (satu-satu): jika x₁ ≠ x₂ maka f(x₁) ≠ f(x₂).

• Fungsi surjektif (onto/kepada): setiap elemen pada kodomain mempunyai pasangan dari domain, sehingga range = kodomain.

• Fungsi bijektif: gabungan dari injektif dan surjektif, artinya bersifat satu-satu sekaligus kepada.

3. Transformasi

Transformasi dapat dipahami sebagai fungsi bijektif yang memetakan suatu bidang (atau ruang) ke bidang itu sendiri. Setiap titik pada bidang memiliki bayangan tunggal, dan sebaliknya setiap bayangan berasal dari tepat satu titik asal.

Syarat transformasi:

1. Pemetaan dilakukan dari himpunan ke himpunan itu sendiri (V → V).

2. Transformasi harus berupa fungsi bijektif, yaitu satu-satu dan onto.

Jawaban Latihan Soal

Bagian 1
4. a. Tidak, b. Ya, c. Ya, d. Ya, e. Ya.
5. a. Tidak, b. Tidak, c. Ya.
6. a. Tidak, b. Ya, c. Tidak.
7. a. Tidak, b. Ya.

Bagian 2

1. Ya

2. Ya

3. Ya

4. Ya

5. Ya

6. Ya

7. Ya

8. Ya