5.1 Metode Eliminasi Gauss
Untuk persamaan yang banyak akan ditulis dalam bentuk sebagai berikut:
Apabila matriks segitiga tersebut sudah didapatkan maka dengan mudah akan didapatkan solusi untuk x1, x2,...xn. Misalkan kalau kita pilih segitiga atas, makaini berarti persamaan baris pertama dari matrik (Gambar 3-1a) adalah tetap atau persamaan pengeliminir dan yang lain akan berubah. Oleh karena itu persamaan baris pertama tersebut disebut sebagai persamaan pivot. Tahap pertama persamaan pivot ini digunakan untuk mengeliminir x1 pada persamaan baris kedua sampai dengan baris terakhir dari matrik [A]. Tahap kedua diambil persamaan baris kedua yang sudah tidak ada x1diambilsebagai persaamaan pivot, karena x1 sudah dieliminir dan persamaan pivot ini digunaan untuk mengeliminr x2 dalam persamaan pada baris ketiga samapi baris terakhir dari [A]. Tahap berikutnya persamaan pivot diambil persamaan baris ketiga yang digunakan untuk mengeliminir x3 yang ada pada persamaan keempat dan seterusnya sampai selesai. Langkah pertama eliminasi x1 sebagai berikut:
Dari baris terakhir dalam persamaan (3-2) didapatkan xn = bn'/ann' dan dari nilai ini kita masukkan ke persamaan diatasnya untuk mendapatkan xn-1, setelah itu kedua nilai ini dimasukkan ke persamaan diatasnya untuk mendapatkan xn-2. Proses dilakukan terus menerus seperti diatas sampai akhirnya didapatkan x1. Apabila diinginkan penyelesaian dengan metode segitiga matriks segitiga bawah maka persamaan pivot diambil mulai dari persamaan paling bawah dan kemudian bergerak keatas. Oleh karen itu kita harus mengeliminir xn kemudian eliminir xn-1 sampai ke x2.Setelah hal ini dilakukan dengan prinsip yang sama dengan metode setiga atas maka matriks segitiga bawah akan didapatkan.
Koefisien dari persamaan tersebut yang dalam bentuk matrik [A] akan dirubah ke bentuk, katakan, matrik segitiga atas. Oleh karena itu mulai dipilihlah persamaan (a) sebagai persamaan pivot. Kemudian x1 dieliminasi dalam persamaan (b) dan (c) dengan menggunakan persamaan pivot(a) dan setelah dilakukan proses eliminasi tahap ke satu didapatlah persamaan berikut :
atau koefisien dari persmaan diatas dalam matrik [A] adalah :
